$\angle CO_2O_1+\angle O_1O_2D=\pi$이므로 $\theta_3=\frac\pi2+\frac{\theta_2}{2}$이고, $\theta_3=\theta_1+\theta_2$에서 $2\theta_1+\theta_2=\pi$이므로 $\angle CO_1B=\theta_1$이다.

이때 $\angle O_2O_1B=\theta_1+\theta_2=\theta_3$이므로 삼각형 $O_1O_2B$와 삼각형 $O_2O_1D$는 합동이다.

$\overline{AB}=k$라 할 때

$\overline{BO_2}=\overline{O_1D}=2\sqrt2k$이므로 $\overline{AO_2}=\boxed{\,\text{(가)}\,}$이고,

$\angle BO_2A=\frac{\theta_1}{2}$이므로 $\cos\frac{\theta_1}{2}=\boxed{\,\text{(나)}\,}$이다.

삼각형 $O_2BC$에서

$\overline{BC}=k,\ \overline{BO_2}=2\sqrt2k,\ \angle CO_2B=\frac{\theta_1}{2}$이므로

코사인법칙에 의하여 $\overline{O_2C}=\boxed{\,\text{(다)}\,}$이다.

$\overline{CD}=\overline{O_2D}+\overline{O_2C}=\overline{O_1O_2}+\overline{O_2C}$이므로

$\overline{AB}:\overline{CD}=k:\left(\frac{\boxed{\,\text{(가)}\,}}2+\boxed{\,\text{(다)}\,}\right)$이다.