자유

[스포주의] 21번 출제의도는 이겁니다.

수학한수MOD2026.11.05 · 조회 177

박스 안의 조건은

$y=f(x)$ 위의 $x$ 좌표가 $f(t)$ 인 점에서의 접선이 곡선 $y=f(x)$ 랑 다시 만나는 점이 $(t, f(t))$ 이다.

랑 필요충분조건이에요. (23 수능 22번 논리)
그럼 여기서 삼차함수 비율관계를 쓸 수 있죠. 변곡점 $x$ 좌표를 $k$ 라고 할 때,

2f(t)+t=3k

이죠.

이걸 만족하는 $t$ 가 $0$ , $1$ 뿐이니까, 위의 삼차방정식은 $0$ 에서 중근 아니면 $1$ 에서 중근이죠. 그런데 $f'(0)=1$ 이라 $0$ 에서 중근은 못됩니다. 그러면 모든 실수 $t$ 에 대하여

2f(t)+t-3k=pt(t-1)^2

으로 놓을 수 있고, 좌변의 $0$ 에서의 미분계수는 $3$ 이고, 우변의 $0$ 에서의 미분계수는 $p$ 니까 $p=3$ 입니다.

그리고 다시한번 비율관계에 의해, 변곡점 $x$ 좌표 $k$ 가 $\dfrac{2}{3}$ 라는걸 얻으니까 함수가 다 구해지죠.