[칼럼]삼각김밥님 올리신 문제
현장에서 어떻게 풀어야 이득 볼지 논해보겠습니다.
도입
A라는 집합을 근과 극점의 x좌표로 줬네요 (여기서 AB=0으로 합집합을 보여줬는데 교집합은 으로 만든답니다.)
(가)는 짝중근 하나인 경우를 배제해주네요 그래도 나름의 성과입니다. (나)에서 우변은 단순히 그래프에 표현하라면 꽤 힘들 수도 있습니다. 함수값이 양수여도 미분 계수가 매우 음수면 성립하지 않을 수도 있거든요 바로 여기서 (나)조건 우변을 해석하는 걸 포기 합니다. 어차피 시각적으로 만들 수 있는 게 없어요. (다)조건은 본격적인 계산에 쓰이겠거니 생각하는데 자연수 조건이 뭔가 키(key)가 될 수도 있다고 의심즘 하고 넘어갑니다.
명제
부분집합을 해석해야할텐데, 우리는 수학-하에서 집합과 명제를 배웠습니다 사용해보죠
명제 p,q에 대해 각각 진리집합을 A,B라 했을 때 A⊃B가 성립하면 p<-q입니다. (저는 활줄과 화살로 외웠습니다.) 즉 p가 q의 필요조건이죠. q가 성립하면 p도 성립합니다. 이제 (나) 조건을 보자면 A에 속하는 원소는 전부 f(x)+f'(x)>=0이라는 거겠죠.
이때 A의 원소는 f(x)=0 or f'(x)=0 이므로 여기서 말로 정리가 되어야합니다.
i) 증가 단일근
ii) 양의 극점
iii) 특수상황 (둘 다 0이라던지.. 미분 계수는 0인데 극점은 아니라던지...)
엄밀하게 식으로 f(x)>0이면서 f'(x)=0...이러고 있으면 시각화 평생 못합니다.
개형 찾기
위에서 정리한 세가지를 가질 수 있는 그래프를 생각해보죠. 일단 아무렇게나 생각해보자고요! 근 없음? 음의 극값이 있어서 안 되겠고요, 단일근 4개? 감소근이 있어서 안 됩니다 이중근 2개? 음의 극값이 있네요. 이렇게 계속 대가리 박자는 게 오늘 칼럼의 핵심입니다. 저는 사실 사람들이 왜 이렇게 안 하는지 모르겠어요. 맞아요 이렇게 하다가 적당히 돼서 풀었는데 마지막에 계산이 안 될 수도 있어요. (특히 계수나 점조건이 달린 경우 더 심함) 하지만 그걸 시간 버렸다고 생각하면 안 됩니다. 그렇게 해도 논리적으로 밟아가는 것보다 훨씬 빠를 뿐더러 한번 실패해보면 실패에 걸리지 않게 다음 케이스를 더 적절하게 잡을 수 있어요. 결론적으로 단일근-삼중근이 딱히 걸리는 게 없네요.(아직 답인진 모르지만 위배되는 건 없으니 달려봅니다.)+아까 생각했던 정리들을 아주 고르게 만족합니다. 수학 문제는 남는 조건을 주지 않습니다.(특히 평가원은) 자기가 풀었는데 조건이 남으면 비약을 의심해야하고 풀면서 조건이 교육적 의의가 있게 쓰인다 싶으면 확신을 가져도 좋습니다. 저는 단일근-삼중근 케이스가 너무나도 (나) 조건을 고르게 만족시키는 게 예감이 좋네요. (다)조건으로 숫자를 맞추면 적당히 f(x)가 구해집니다. (이 과정은 라운지에 있습니다.) f(4)=16이네요
정리
수II 문제에서 너무 완벽한 논리를 갖추고 조건을 만족시키는 함수를 찾을 필요는 없습니다. 다양한 함수를 시도해보며 조건에 위배되면 거르면 그만이에요. 그리고 아직 안 본 경우가 있지 않을까 거기 답이 있지 않을까 걱정하지 마세요. 하늘 아래 태양은 하나 정답도 하나입니다. (물론 가능한 k의 합 이런 건 얘기가 다르지만) 그래도 걱정된다면 모든 조건을 고르게 사용하나 지켜보세요. 이렇게 하면 9모 같은 시험지 설맞이s3-2 같은 시험지(준킬러로 도배된 시험지) 그냥 발라먹습니다. 수II에서 시간 아끼고 선택과목 다 맞으시길 바랍니다. 물러갑니다 총총총