(스포주의) 수학도장 모의고사 15번 풀이 공유

고냥.. 15번 해설이 제 방식과 좀 달라서 제 풀이도 공유해보고자 작성해봅니다.(이렇게 푸신 분들도 많을 것 같음) 위는 제 현장 풀이입니다.

먼저, 발문을 읽고 다항함수의 극한에 관한 문제이므로 인수의 개수가 중요하다고 생각했습니다. 따라서 이를 대략적으로 파악하기 위해 f(x)의 함수식을 살펴보니, 상수항이 음수이므로 중근을 갖는 완전제곱꼴이 될 수 없음을 파악했습니다.

그 후 (가) 조건의 두 극한식이 담고있는 정보를 끌어냈습니다. 두번째 극한식을 해석하는 과정에서는 고1 때 배우는 “한 문자에 대하여 내림차순 정리”가 중요하다고 생각했습니다.

위 인수분해 방법을 통해 두 극한식이 유의미한 의미를 가지도록 적절한 형태로 변형해주었습니다.

첫번째 극한식이 가지는 의미는 “f(x)=0이면 g(x)=0이다.“ / 두번째 극한식이 가지는 의미는 ”f(x)=1이면 g(x)=1이다.”로 해석할 수 있습니다.

(참고로, f(x)식에 x=-k/2를 대입하여 최솟값을 구하면 음수의 형태가 나오므로 방정식 f(x)-1=0은 서로 다른 두 실근을 가지게 됩니다. 따라서 f(x)=1인 지점에서 g(x)=1이 아니라면, 해당 지점에서 극한값이 존재하지 않게 됩니다.)

이제 (가) 조건에서 뽑아먹을 건 얼추 다 뽑아냈다고 생각했습니다. 여기까지 도출해낸 정보들을 활용하여, 차함수로 함수식을 작성하면 편리할 것 같다고 판단했습니다.

f(x)=g(x)=0의 서로 다른 두 실근을 a, b라 하고, f(x)=g(x)=1을 만족시키는 서로 다른 두 실근을 r, d라 잡았습니다. 그러면 f(x)-g(x) = (x-a)(x-b)(x-r)(x-d)로 나타낼 수 있게 됩니다. 이 때, 네 실수 a, b, r, d는 전부 f(x)와 깊은 관련이 있으므로, f(x)를 주의깊게 관찰해야겠다는 판단이 섰습니다.

이제 (나) 조건으로 가봅시다. (나) 조건의 f(x)+6g(x)를 제가 앞서 세운 함수식과 연결하기 위해 이를 f(x)-g(x)+7g(x)로 적절히 변형했습니다.

따라서, 해당 함수식은 f(x)+6g(x) = (x-a)(x-b){(x-r)(x-d)+7}로 작성할 수 있습니다. 여기서 운이 좀 좋았던 것이 아까전 a, b, r, d를 의식적으로 f(x)와 연결하여 바라보려는 시도가 있었기 때문에 형태가 바로 보였습니다. 해당 함수식에서 (x-a)(x-b)는 다시 f(x)로 작성할 수 있고, (x-r)(x-d)는 다시 f(x)-1로 작성할 수 있습니다.

따라서 f(x)+6g(x) = f(x){f(x)+6}과 같습니다. 해당 함수는 사차함수이므로 극솟값 중에서 최솟값이 존재합니다.

따라서 미분을 통해 극솟값을 찾아봅시다.

양변을 미분하면 (우변) =2 f’(x){f(x)+3} = 2(2x+k)(f(x)+3)이 됩니다. 그러면 x=-k/2 또는 f(x)=-3인 곳 중 한 곳에서 극솟값을 가지게 되는데, 이 때 f(x)=-3을 해당 f(x)+6g(x) = f(x){f(x)+6} 함수식에 대입하게 되면 -9가 나오므로 최솟값이 -8이라는 조건에 위배됩니다. 따라서 방정식 f(x)=-3의 서로 다른 두 실근이 존재하지 않아야하므로 f(x)의 최솟값은 -3 이상임을 알 수 있습니다.

그러면, 나머지 극솟값 후보인 x=-k/2가 자동으로 f(x)+6g(x)의 최솟값의 x좌표가 됩니다.

f(-k/2) = t로 치환해주면, t^2 +6t +8 =0, 따라서 t=-2 or t=-4입니다. 그런데 f(-k/2)는 f(x)의 최솟값이고, 아까 f(x)의 최솟값이 -3 이상이라고 했으므로 t=-2만 허용됩니다.

따라서 t의 자리에 f(-k/2)를 다시 넣고 계산해주면, 양수 k의 값은 2가 나옵니다.

ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ

요까지가 풀이입니다. 혹시 풀이에 비약이 있거나 오류가 있다면 알려주시면 감사하겠습니다!