토론 범위

고교과정을 넘어선 대학수학에서는 연속과 연속함수가 다르게 정의되어 본 논의가 필요하지 않으므로,
토론의 주장에 대한 근거는 모두 고교과정의 수학에 한정하여 제시하도록 합니다.

토론의 재미를 위해 고교과정을 넘어선 내용은 가급적 검색하지 말아주세요.

배경 (출처 : 비상교과서)

현 22개정 교육과정 교과서에 수록된 '연속'과 관련된 정의는 다음과 같습니다.

정의 A. (비상교과서 미적분I 32p)

실수 $f(x)$와 실수 $a$에 대하여
(i) 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 정의되고
(ii) 극한값 $\lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)$가 존재하며
(iii) $\lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)=f(a)$일 때,
$f(x)$는 $x=a$에서 연속이라고 한다.

정의 B. (비상교과서 미적분I 33p)

함수 $f(x)$가 열린 구간 $(a, b)$에 속하는 모든 실수 $x$에 대해 연속일 때, $f(x)$는 $(a, b)$ 구간에서 연속이라고 한다.

정의 C. (비상교과서 미적분I 33p)

닫힌 구간 $[a, b]$에서 정의된 함수 $f(x)$에 대해
(i) $f(x)$가 $(a, b)$에서 연속이고
(ii) $\lim\limits_{x \rightarrow a+}f(x)=f(a)$
(iii) $\lim\limits_{x \rightarrow b-}f(x)=f(b)$
일 때, $f(x)$는 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이라고 한다.

정의 D. (비상교과서 미적분I 33p)

일반적으로 어떤 구간에서 연속인 함수를 그 구간에서 연속함수라고 한다.

연속과 관련된 다른 정의에 비해, 연속함수의 정의(정의 D)가 비교적 약하게 서술되어 있는 것을 볼 수 있습니다. 즉, 현재 교육과정 상에서는 '연속함수'라는 용어를 특정 구간에서만 논의할 수 있습니다.
이에 따라 단순히 특정 구간에서의 연속/불연속을 넘어, 모든 함수를 '연속함수'와 '불연속함수'로 나누기 위해서는 새롭게 용어를 정의할 필요성이 있어 보입니다.

논제와 쟁점

오늘의 논제는 다음과 같습니다.

논제 : 정의역과 치역이 모두 실수의 부분집합인 함수 $f$를 '연속함수'와 '불연속함수'로 분류한다면, 어떤 기준으로 나누어야 하는가?

이때, 고교 과정에서의 논의를 위해, 다루는 대상인 함수는 고교과정에 등장하는 실함수를 이용해 '구간별로 정의된 함수(piecewise defined function)'로 한정하겠습니다.

논제의 답을 찾는 것에 도움을 주기 위해, 다음과 같은 '쟁점'을 미리 정해두었습니다.
논제에 대한 답이 명확하다면, 아래 쟁점에 대한 답을 모두 명확히 할 수 있어야 합니다.

쟁점 1 : 구간 $[-1, 1]$에서 정의된 함수 $f_1(x)=x^2$는 '연속함수'인가?

쟁점 2 : 모든 실수에 대해 정의된 다음 함수 $f_2(x)$는 '연속함수'인가?

$$f_2(x)=\begin{cases}x+1 & (x \leq 0)\\ x-1 & (x > 0) \end{cases}$$

쟁점 3 : $[0, \infty)$에서 정의된 함수 $f_3(x)=\sqrt{x}$는 '연속함수'인가?

쟁점 4 : $(-\infty, 0)\cup(0, \infty)$에서 정의된 함수 $f_4(x)=\dfrac{1}{x}$는 '연속함수'인가?

쟁점 5 : $(0, \infty)$에서 정의된 함수 $f_5(x)=\dfrac{1}{x}$는 '연속함수'인가?

쟁점 6 : 모든 실수에 대해 정의된 다음 함수 $f_6(x)$는 '연속함수'인가?

$$f_6(x)=\begin{cases}\sqrt{x} & (x \geq 0)\\[0.5em] \dfrac{1}{x} & (x < 0) \end{cases}$$