2024학년도 5월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 공통 12번

최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$에 대하여 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=\dfrac12x$가 원점 $\mathrm{O}$에서 접하고 $x$좌표가 양수인 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ $(\overline{\mathrm{OA}}<\overline{\mathrm{OB}})$에서 만난다. 곡선 $y=f(x)$와 선분 $\mathrm{OA}$로 둘러싸인 영역의 넓이를 $S_1$, 곡선 $y=f(x)$와 선분 $\mathrm{AB}$로 둘러싸인 영역의 넓이를 $S_2$라 하자. $\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt5$이고 $S_1=S_2$일 때, $f(1)$의 값은? [4점]