2023학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 미적분 27번

그림과 같이 $\overline{\mathrm{A_1B_1}}=4$, $\overline{\mathrm{A_1D_1}}=3$인 직사각형 $\mathrm{A_1B_1C_1D_1}$이 있다. 선분 $\mathrm{A_1D_1}$을 $1:2$, $2:1$로 내분하는 점을 각각 $\mathrm{E_1,F_1}$이라 하고, 두 선분 $\mathrm{A_1B_1,D_1C_1}$을 $1:3$으로 내분하는 점을 각각 $\mathrm{G_1,H_1}$이라 하자. 두 삼각형 $\mathrm{C_1E_1G_1,B_1H_1F_1}$로 만들어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 두 선분 $\mathrm{B_1H_1,C_1G_1}$이 만나는 점을 $\mathrm I_1$이라 하자. 선분 $\mathrm{B_1I_1}$ 위의 점 $\mathrm A_2$, 선분 $\mathrm{C_1I_1}$ 위의 점 $\mathrm D_2$, 선분 $\mathrm{B_1C_1}$ 위의 두 점 $\mathrm{B_2,C_2}$를 $\overline{\mathrm{A_2B_2}}:\overline{\mathrm{A_2D_2}}=4:3$인 직사각형 $\mathrm{A_2B_2C_2D_2}$가 되도록 잡는다. 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형 $\mathrm{A_2B_2C_2D_2}$에 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [3점]