공간에서의 삼각함수의 활용

준선이 $y$축이고 초점 $\mathrm F$가 $x$축 위에 있는 $xy$평면 위 포물선 위의 한 점 $\mathrm P$를 지나고 $yz$평면과 평행한 평면 $\alpha$에 대해 점 $\mathrm M(0, 0, 1)$에서 $\alpha$에 내린 수선의 발 $\mathrm H$가 다음 조건을 만족한다.

$\mathrm M$을 중심으로 하고 $\mathrm H$를 지나는 구 $B$에 대해 집합 $S$를 다음과 같이 정의하자.

$\mathrm P_0, \mathrm P_1\in S$일 때 $\overline{\mathrm P_0\mathrm P_1}^4$의 최댓값은 $q\over p$이다. $p+q$의 값은?

(단 $\mathrm O$는 원점이며 $\overline{\mathrm{OF}}$는 정수이다. $p,\ q$는 서로소인 자연수이다.)