2007학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 29번

길이가 $1$인 선분 $AB$가 있다.

그림과 같이 선분 $AB$를 $3$등분한 다음, 가운데 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 그리고, 가운데 선분을 지워 만든 도형을 $T_1$이라 하자.

$T_1$의 선분 중 원래의 선분 $AB$에서 남아 있는 두 선분을 각각 $3$등분한 다음, 가운데 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 그리고, 가운데 선분을 지워 만든 도형을 $T_2$라 하자.

$T_2$의 선분 중 원래의 선분 $AB$에서 남아 있는 네 선분을 각각 $3$등분한 다음, 가운데 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 그리고, 가운데 선분을 지워 만든 도형을 $T_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속 반복하여 $n$번째 만든 도형을 $T_n$이라 하고, $T_n$에 있는 모든 선분의 길이의 총합을 $a_n$이라 하자.이때 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$의 값은? [4점]