2025학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 기하 28번

그림과 같이 두 점 $\mathrm{F}(c,0),\mathrm{F}'(-c,0)\;(c>0)$을 초점으로 하는 타원 $\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{75}=1$과 두 점 $\mathrm{F},\mathrm{F}'$을 초점으로 하는 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$이 있다. 타원과 쌍곡선이 만나는 점 중 제$1$사분면 위의 점을 $\mathrm{P}$라 하고, 선분 $\mathrm{F}'\mathrm{P}$가 쌍곡선과 만나는 점 중 $\mathrm{P}$가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 두 점 $\mathrm{P},\mathrm{Q}$가 다음 조건을 만족시킬 때, 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는? (단, $a,b$는 양수이다.) [4점]