2020학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 18번

그림과 같이 길이가 $4$인 선분 $\mathrm A_1\mathrm B_1$을 지름으로 하는 반원 $O_1$의 호 $\mathrm A_1\mathrm B_1$을 $4$등분하는 점을 점 $\mathrm A_1$에서 가까운 순서대로 각각 $\mathrm C_1$, $\mathrm D_1$, $\mathrm E_1$이라 하고, 두 점 $\mathrm C_1$, $\mathrm E_1$에서 선분 $\mathrm A_1\mathrm B_1$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm A_2$, $\mathrm B_2$라 하자. 사각형 $\mathrm C_1\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm E_1$의 외부와 삼각형 $\mathrm D_1\mathrm A_1\mathrm B_1$의 외부의 공통부분 중 반원 $O_1$의 내부에 있는 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 선분 $\mathrm A_2\mathrm B_2$를 지름으로 하는 반원 $O_2$를 반원 $O_1$의 내부에 그리고, 반원 $O_2$의 호 $\mathrm A_2\mathrm B_2$를 $4$등분하는 점을 점 $\mathrm A_2$에서 가까운 순서대로 각각 $\mathrm C_2$, $\mathrm D_2$, $\mathrm E_2$라 하고, 두 점 $\mathrm C_2$, $\mathrm E_2$에서 선분 $\mathrm A_2\mathrm B_2$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm A_3$, $\mathrm B_3$이라 하자. 사각형 $\mathrm C_2\mathrm A_3\mathrm B_3\mathrm E_2$의 외부와 삼각형 $\mathrm D_2\mathrm A_2\mathrm B_2$의 외부의 공통부분 중 반원 $O_2$의 내부에 있는 모양의 도형에 색칠을 하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]