2017학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 29번

그림과 같이 자연수 $n$에 대하여 곡선 $y=x^2$ 위의 점 $\mathrm P_n(n,n^2)$에서의 접선을 $l_n$이라 하고, 직선 $l_n$이 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm Y_n$이라 하자. $x$축에 접하고 점 $\mathrm P_n$에서 직선 $l_n$에 접하는 원을 $C_n$, $y$축에 접하고 점 $\mathrm P_n$에서 직선 $l_n$에 접하는 원을 $C_n'$이라 할 때, 원 $C_n$과 $x$축과의 교점을 $\mathrm Q_n$, 원 $C_n'$과 $y$축과의 교점을 $\mathrm R_n$이라 하자. $\lim_{n\to\infty}\frac{\overline{\mathrm{OQ_n}}}{\overline{\mathrm{Y_nR_n}}}=\alpha$라 할 때, $100\alpha$의 값을 구하시오. (단, $\mathrm O$는 원점이고, 점 $\mathrm Q_n$의 $x$좌표와 점 $\mathrm R_n$의 $y$좌표는 양수이다.) [4점]