2012학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 공통 15번

그림과 같이 한 변의 길이가 $1+\sqrt3$인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$가 있다. 두 변 $\mathrm{AB}$와 $\mathrm{BC}$를 $1:\sqrt3$으로 내분하는 점을 각각 $\mathrm P,\mathrm Q$라 하고, 두 변 $\mathrm{CD}$와 $\mathrm{DA}$를 $\sqrt3:1$로 내분하는 점을 각각 $\mathrm R,\mathrm S$라 하자. 이때, 두 선분 $\mathrm{PR},\mathrm{QS}$의 교점을 $\mathrm T$라 하고, 네 사각형 $\mathrm{APTS},\mathrm{PBQT},\mathrm{TQCR},\mathrm{STRD}$를 만든다.

먼저 사각형 $\mathrm{APTS}$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 $A_1$, 사각형 $A_1$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 $A_2$, 사각형 $A_2$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 $A_3$라 하자.

또, 사각형 $\mathrm{PBQT}$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 $B_1$, 사각형 $B_1$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 $B_2$, 사각형 $B_2$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 $B_3$라 하자.

또, 사각형 $\mathrm{TQCR}$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 $C_1$, 사각형 $C_1$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 $C_2$, 사각형 $C_2$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 $C_3$라 하자.

또, 사각형 $\mathrm{STRD}$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 $D_1$, 사각형 $D_1$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 $D_2$, 사각형 $D_2$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 $D_3$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 사각형 $A_n,B_n,C_n,D_n$의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 각각 $A_{n+1},B_{n+1},C_{n+1},D_{n+1}$이라 하자. 사각형 $A_n,B_n,C_n,D_n$의 넓이를 각각 $a_n,b_n,c_n,d_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n-b_n+c_n-d_n)=p+q\sqrt3$을 만족시키는 두 유리수 $p,q$의 합 $p+q$의 값은? [3점]