2013학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 A형 19번

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$ 안에 꼭짓점 $\mathrm A$, $\mathrm C$를 중심으로 하고 선분 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{CD}$를 반지름으로 하는 사분원을 각각 그린다. 두 사분원의 호로 둘러싸인 부분에 내접하는 가장 큰 원을 그리고, 그 내부를 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 두 꼭짓점 $\mathrm A$, $\mathrm C$로부터 두 사분원의 호와 원이 접하는 두 점 중 가까운 점까지의 선분을 대각선으로 하는 정사각형을 각각 그린다. 이 $2$개의 정사각형 안에 그림 $R_1$에서 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 $2$개의 원의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

그림 $R_2$에 있는 작은 두 정사각형에서 두 꼭짓점으로부터 사분원과 원의 접점 중 가까운 점까지의 선분을 대각선으로 하는 정사각형을 각각 그린다. 이 $4$개의 정사각형 안에 그림 $R_1$에서 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 $4$개의 원의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 $R_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에서 색칠된 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]