2002학년도 대학수학능력시험 수학 영역 인문계 18번

〈증명〉

$m$이 짝수이거나 $n$이 홀수라 가정하자.

(i) $m$이 짝수이면 $m=2j$꼴의 정수이고, $m^4+4^n=4\cdot(4j^4+4^{n-1})$이므로 $m^4+4^n$은 $\boxed{\text{(가)}}$. 이것은 가정에 모순이므로 $m$은 홀수이다.

(ii) $n$이 홀수이면 $n=2k-1$꼴의 정수이다. $m^4+4^n=m^4+4^{2k-1}$은 다음과 같이 인수분해 된다.

이 수는 소수이므로 $\boxed{\text{(나)}}=1$ 또는 $m^2+m2^k+2\cdot4^{k-1}=1$이다.

그런데, $m^2+m2^k+2\cdot4^{k-1}>1$이므로 $\boxed{\text{(나)}}=1$이다.

로부터 $k=1,\ m=1$이다. 따라서 $m=1,\ n=1$이다. 이것은 가정에 모순이므로 $n$은 짝수이다.