역함수와 실근의 극한값

$1$이 아닌 양의 실수 $t$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $\ln x=t(x-1)$의 $1$이 아닌 실근을 $g(t)$라 하고, $g(1)=1$이라 하자. 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$에 대하여 다음 극한이 성립한다.

$27\times k\times f\bigl(g''(1)\bigr)$의 값을 구하시오.