다음은 모든 자연수 n 에 대하여 1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots+\frac1{2n-1}-\frac1{2n}=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n} 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. ⅰ) n=1 일 때, (좌변)=(우변)= \boxed{\text{(가)}} 이므로 주어진 등식은 성립한다. ⅱ) n=k(k\ge1) 일 때, 성립한다고 가정하면 1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots+\frac1{2k-1}-\frac1{2k}=\frac1{k+…

초록띠 4기출문제

2009학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 9번

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여

1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots+\frac1{2n-1}-\frac1{2n}=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

ⅰ) $n=1$ 일 때,

(좌변)=(우변)= $\boxed{\text{(가)}}$ 이므로 주어진 등식은 성립한다.

ⅱ) $n=k(k\ge1)$ 일 때, 성립한다고 가정하면

1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots+\frac1{2k-1}-\frac1{2k}=\frac1{k+1}+\frac1{k+2}+\cdots+\frac1{2k}

이다.

$n=k+1$ 일 때,

\begin{aligned}1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots+\frac1{2k-1}-\frac1{2k}+\boxed{\text{(나)}}\\=\frac1{k+1}+\frac1{k+2}+\cdots+\frac1{2k}+\boxed{\text{(나)}}\\=\frac1{k+2}+\frac1{k+3}+\cdots+\frac1{2k+1}+\boxed{\text{(다)}}\\=\frac1{k+2}+\frac1{k+3}+\cdots+\frac1{2k+1}+\frac1{2k+2}\end{aligned}

이다.

그러므로 $n=k+1$ 일 때도 성립한다.

따라서 ⅰ), ⅱ)에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

이 증명에서 (가)~(다)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은? [3점]

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