2005학년도 11월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 14번

<증명>

$a$, $b$, $c$, $d$는 유리수이고,

$a+b\sqrt2=c+d\sqrt2$에서 $(b-d)\sqrt2=c-a$ ⋯㉠

$\boxed{\text{(나)}}$라고 가정하면 $\sqrt2=\dfrac{c-a}{b-d}$ ⋯㉡

유리수는 사칙연산(단, $0$으로 나누는 것은 제외)에 대하여 닫혀 있으므로 $\dfrac{c-a}{b-d}$는 유리수이다.

㉡식의 좌변은 무리수이고 우변은 유리수이므로 모순이다.

따라서, $\boxed{\text{(다)}}$이다.

이 때, ㉠에서 $c-a=0$ 즉, $a=c$이다.

그러므로 유리수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $a+b\sqrt2=c+d\sqrt2$이면 $\boxed{\text{(가)}}$이다.