2026학년도 5월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 기하 30번

두 초점이 $\mathrm{F}\left(c,\,0\right),\,\quad \mathrm{F'}\left(-c,\,0\right)\,\left(c>0\right)$인 쌍곡선 $x^2-\dfrac{y^2}{a^2}=1$ 위의 점 중 제$2$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$에 대하여 직선 $\mathrm{PF}$가 타원 $x^2+\dfrac{y^2}{b^2}=1\,\left(0<b<1\right)$과 점 $\mathrm{Q}$에서 접한다. 점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표가 $b^2$이고 $\overline{\mathrm{PQ}}=\overline{\mathrm{PF'}}+b^2$일 때, $30\left(a^2+b^2\right)$의 값을 구하시오. (단, $a$는 양수이다.) [4점]