복소수 거듭제곱의 실수부분과 부분합

복소수 $z$가 다음 조건을 만족시킨다. (단, $\overline z$는 $z$의 켤레복소수이다.)

자연수 $n$에 대하여 $z^n$의 실수부분을 $a_n$이라 하자. 부등식

을 만족시키는 $30$ 이하의 자연수 $m$의 개수를 $N$, 그러한 $m$의 최솟값을 $\alpha$라 할 때, $N\alpha$의 값을 구하시오.