15. $p>1$인 상수 $p$에 대하여 함수 $f(x)=x^2-px$가 있다. 실수 $t(t>-p)$에 대하여 함수 $y=|f(x)|$의 그래프와 직선 $y=x+t$가 만나는 점의 $x$좌표 중 가장 작은 값을 $\alpha(t)$, 가장 큰 값을 $\beta(t)$라 하자. 열린구간 $(-p,\infty)$에서 정의된 함수 $g(t)=\int_{\alpha(t)}^{\beta(t)}\{|f(x)|-(x+t)\}\,dx$의 최댓값이 $\frac12$일 때, $p$의 값은? [4점]