2026학년도 5월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 공통 15번

$p>1$인 상수 $p$에 대하여 함수 $f\left(x\right)=x^2-px$가 있다. 실수 $t\left(t>-p\right)$에 대하여 함수 $y=\left|f\left(x\right)\right|$의 그래프와 직선 $y=x+t$가 만나는 점의 $x$좌표 중 가장 작은 값을 $\alpha\left(t\right)$, 가장 큰 값을 $\beta\left(t\right)$라 하자. 열린구간 $\left(-p,\,\infty\right)$에서 정의된 함수

의 최댓값이 $\dfrac12$일 때, $p$의 값은? [4점]