2008학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 19번

한 변의 길이가 $2$인 정삼각형에 내접원을 그리고, 정삼각형의 두 변과 내접원에 접하는 세 원을 그린다. 이 세 원의 중심을 잇는 정삼각형을 그린다. 새로 얻은 정삼각형을 $A_1$, 그 넓이를 $S_1$이라 하자([그림 1] 참조). $A_1$에 밑줄 친 과정을 시행하여 두 번째 얻은 정삼각형을 $A_2$, 그 넓이를 $S_2$라 하자([그림 2] 참조). $A_2$에 밑줄 친 과정을 시행하여 세 번째 얻은 정삼각형을 $A_3$, 그 넓이를 $S_3$라 하자([그림 3] 참조). 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 정삼각형을 $A_n$, 그 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty S_n$의 값은? [4점]

[그림 1]

[그림 2]

[그림 3]