2024학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 미적분 26번

그림과 같이 중심이 $\mathrm O$, 반지름의 길이가 $1$이고 중심각의 크기가 $\frac\pi2$인 부채꼴 $\mathrm{OA_1B_1}$이 있다. 호 $\mathrm{A_1B_1}$의 삼등분점 중 점 $\mathrm{A_1}$에 가까운 점을 $\mathrm{C_1}$, 점 $\mathrm{B_1}$에 가까운 점을 $\mathrm{D_1}$이라 하고, 사각형 $\mathrm{A_1C_1D_1B_1}$에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 중심이 $\mathrm O$이고 선분 $\mathrm{A_1B_1}$에 접하는 원이 선분 $\mathrm{OA_1}$과 만나는 점을 $\mathrm{A_2}$, 선분 $\mathrm{OB_1}$과 만나는 점을 $\mathrm{B_2}$라 하고, 중심이 $\mathrm O$, 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{OA_2}}$, 중심각의 크기가 $\frac\pi2$인 부채꼴 $\mathrm{OA_2B_2}$를 그린다. 같은 방법으로 사각형 $\mathrm{A_2C_2D_2B_2}$를 색칠한다.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [3점]