수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 할 때, 다음은 등식
nSn−k=1∑n−1Sk=k=1∑nkak(n≥2)⋯⋯(★) 이 성립함을 증명한 것이다.
<증명>
(1) n=2일 때,
(좌변)=(우변)=(가)이므로 (★)이 성립한다.
(2) n=i (i≥2)일 때, (★)이 성립한다고 가정하면,
(i+1)Si+1−k=1∑iSk=(i+1)Si+1−(k=1∑i−1Sk+Si) =(i+1)Si+1−(나) =k=1∑ikak+(다) =k=1∑i+1kak 따라서, n=i+1일 때, (i+1)Si+1−k=1∑iSk=k=1∑i+1kak가 성립한다.
(1)과 (2)에 의하여 등식 (★)은 2 이상의 모든 자연수 n에 대하여 성립한다.
위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]
(가), (나), (다)
