2010학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수리 영역 가형 확률과 통계 30번

어느 공장에서 생산되는 제품의 길이는 표준편차가 $\frac1{1.96}$인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산되는 제품 중에서 임의추출한 10개 제품의 길이를 측정하여 표본평균을 구하였다. 이 표본평균을 이용하여 구한 제품의 길이의 모평균에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간을 $[\alpha,\beta]$라 하자. $\alpha$와 $\beta$가 이차방정식 $10x^2-100x+k=0$의 두 근일 때, $k$의 값을 구하시오. (단, 표준정규분포를 따르는 확률변수 $Z$에 대하여 $P(0\le Z\le1.96)=0.4750$이다.) [4점]