2008학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수리 영역 가형 공통 15번

그림과 같이 반지름의 길이가 $1$이고 중심이 $\mathrm O_1$, $\mathrm O_2$, $\mathrm O_3$, $\cdots$인 원들이 있다. 모든 원들의 중심은 한 직선 위에 있고, $\overline{\mathrm O_n\mathrm O_{n+1}}=1\;(n=1,2,3,\cdots)$이다. 두 원 $\mathrm O_1$, $\mathrm O_2$가 만나는 두 점을 각각 $\mathrm P_1$, $\mathrm Q_1$이라 하고, 부채꼴 $\mathrm O_2\mathrm P_1\mathrm Q_1$의 넓이를 $S_1$이라 하자.

두 점 $\mathrm P_1$, $\mathrm Q_1$에서 원 $\mathrm O_3$의 중심과 연결한 선분이 원 $\mathrm O_3$과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm P_2$, $\mathrm Q_2$라 하고, 부채꼴 $\mathrm O_3\mathrm P_2\mathrm Q_2$의 넓이를 $S_2$라 하자.

두 점 $\mathrm P_2$, $\mathrm Q_2$에서 원 $\mathrm O_4$의 중심과 연결한 선분이 원 $\mathrm O_4$와 만나는 두 점을 각각 $\mathrm P_3$, $\mathrm Q_3$이라 하고, 부채꼴 $\mathrm O_4\mathrm P_3\mathrm Q_3$의 넓이를 $S_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 부채꼴 $\mathrm O_{n+1}\mathrm P_n\mathrm Q_n$의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}S_n$의 값은? [4점]