2006학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 27번

직사각형 중에서 짧은 변을 한 변으로 하는 정사각형을 잘라내고 남은 직사각형이 처음의 직사각형과 서로 닮음이 되는 것을 황금직사각형이라고 한다.

그림과 같이 긴 변의 길이가 1인 황금직사각형 $\mathrm R_1$에서 짧은 변을 한 변으로 하는 정사각형 $\mathrm S_1$을 잘라내고 남은 직사각형을 $\mathrm R_2$, 직사각형 $\mathrm R_2$에서 정사각형 $\mathrm S_2$를 잘라내고 남은 직사각형을 $\mathrm R_3$이라고 하자. 이와 같은 방법으로 직사각형 $\mathrm R_4$, $\mathrm R_5$, $\mathrm R_6$, $\cdots$을 한없이 만들어 간다.

직사각형 $\mathrm R_n\ (n=1,2,3,\cdots)$의 둘레의 길이 $l_n$에 대하여 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}l_n=kl_1$일 때, 상수 $k$의 값은? [4점]