초록띠 5기출문제

2005학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 11번

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^n\le\dfrac{a^n+b^n}{2}$ 이 성립함을 증명한 것이다. (단, $a,\ b$ 는 양수이다.)

<증명>

(i) $n=1$ 일 때,

\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a+b}{2}=0

이므로 주어진 식은 성립한다.

(ii) $n=k$ 일 때, 주어진 식이 성립한다고 가정하면

\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^k\le\dfrac{a^k+b^k}{2}\quad\cdots\text{\char"3260 }

이 성립한다.

㉠의 양변에 $\boxed{\text{(가)}}$ 를 곱하면

\begin{aligned}\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{k+1}&\le\left(\dfrac{a^k+b^k}{2}\right)\times\boxed{\text{(가)}}\\&=\dfrac{a^{k+1}+b^{k+1}+ab^k+a^kb}{4}\end{aligned}

이 때,

\begin{aligned}a^{k+1}+b^{k+1}-ab^k-a^kb&=a^k(a-b)-b^k(a-b)\\&=(a-b)(a^k-b^k)\quad\boxed{\text{(나)}}\quad 0\end{aligned}

이므로,

\begin{aligned}\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{k+1}&\le\dfrac{a^{k+1}+b^{k+1}+ab^k+a^kb}{4}\\&\le\dfrac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\end{aligned}

즉, $n=k+1$ 일 때, 주어진 식이 성립한다.

따라서, (i), (ii)에 의하여

모든 자연수 $n$ 에 대하여 주어진 식은 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [3점]

$\underline{\text{(가)}}\qquad\underline{\text{(나)}}$

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