다음은 모든 자연수 n에 대하여
k=1∑nk(−1)k−1nCk=k=1∑nk1⋯⋯ (∗) 이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.
(ⅰ) n=1일 때 (좌변)=1, (우변)=1이므로 (∗)이 성립한다.
(ⅱ) n=m일 때 (∗)이 성립한다고 가정하면
k=1∑mk(−1)k−1mCk=k=1∑mk1 이다. n=m+1일 때,
k=1∑m+1k(−1)k−1m+1Ck=k=1∑mk(−1)k−1m+1Ck+(가)=k=1∑mk(−1)k−1(mCk+mCk−1)+(가)=k=1∑mk1+k=1∑m+1⎩⎨⎧k(−1)k−1×(m−k+1)!(k−1)!(나)⎭⎬⎫=k=1∑mk1+k=1∑m+1⎩⎨⎧(다)(−1)k−1×(m−k+1)!k!(m+1)!⎭⎬⎫=k=1∑mk1+m+11=k=1∑m+1k1 이다. 따라서 n=m+1일 때도 (∗)이 성립한다.
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 (∗)이 성립한다.
위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 f(m), g(m), h(m)이라 할 때, f(4)g(3)+h(3)의 값은? [4점]
