2009학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 16번

그림과 같이 정육각형 $H_1$의 각 변을 지름으로 하는 반원을 정육각형 $H_1$의 내부에 그리고, 반원이 겹쳐지는 어두운 부분의 넓이의 합을 $S_1$, 각 반원의 호의 길이를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 $H_2$라 하자.

정육각형 $H_2$의 각 변을 지름으로 하는 반원을 정육각형 $H_2$의 내부에 그리고, 반원이 겹쳐지는 어두운 부분의 넓이의 합을 $S_2$, 각 반원의 호의 길이를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 $H_3$라 하자.

이와 같은 방법으로 정육각형 $H_n$의 각 변을 지름으로 하는 반원을 정육각형 $H_n$의 내부에 그리고, 반원이 겹쳐지는 어두운 부분의 넓이의 합을 $S_n$, 각 반원의 호의 길이를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 $H_{n+1}$이라 하자.

이때, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}S_n$의 값을 $S_1$을 이용하여 나타낸 것은? [4점]