2003학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 인문계 7번

<증명>

그림과 같이 $\mathrm O$가 중심이고 선분 $\mathrm{AB}$가 지름인 반원에서 $\overline{\mathrm{AC}}=a$, $\overline{\mathrm{BC}}=b$이고 선분 $\mathrm{CD}$, $\mathrm{OE}$는 모두 선분 $\mathrm{AB}$에 수직이다.

$\angle\mathrm{ADB}$는 지름 $\mathrm{AB}$에 대한 원주각이므로 $\triangle\mathrm{ADB}$는 직각삼각형이다.

또한, $\triangle\mathrm{ACD}\sim\triangle\mathrm{DCB}$이므로

한편, $\boxed{\text{(나)}}=\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{2}=\frac{a+b}{2}$

이 때, $\boxed{\text{(가)}}\le\boxed{\text{(나)}}$이므로 $\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}$이다.