2006학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 16번

[그림 1]과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=2$, $\overline{\mathrm{BC}}=1$인 직각삼각형 ABC의 꼭짓점 B에서 대변 AC에 내린 수선의 발을 $\mathrm P_1$, $\triangle\mathrm{ABP}_1$의 넓이를 $S_1$이라 하자.

[그림 2]와 같이 직각삼각형 $\triangle\mathrm{ABP}_1$의 꼭짓점 $\mathrm P_1$에서 대변 AB에 내린 수선의 발을 $\mathrm P_2$, $\triangle\mathrm{AP}_1\mathrm P_2$의 넓이를 $S_2$라 하자.

[그림 3]과 같이 직각삼각형 $\triangle\mathrm{AP}_1\mathrm P_2$의 꼭짓점 $\mathrm P_2$에서 대변 $\mathrm{AP}_1$에 내린 수선의 발을 $\mathrm P_3$, $\triangle\mathrm{AP}_2\mathrm P_3$의 넓이를 $S_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 얻은 $\triangle\mathrm{AP}_{n-1}\mathrm P_n$의 넓이를 $S_n$이라 할 때, 무한급수 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}S_n$의 합은? (단, $\mathrm B=\mathrm P_0$) [4점]