2011학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 18번

밑면의 반지름의 길이가 $4$, 높이가 $10$인 직원기둥이 있다. 점 $\mathrm A$, $\mathrm B$는 서로 다른 두 밑면의 원주 위에 있고, 선분 $\mathrm{AB}$의 길이는 직원기둥의 높이와 같다. 그림과 같이 점 $\mathrm A$에서 시작하여 직원기둥의 옆면을 한 바퀴 돌아 점 $\mathrm B$까지 최단거리의 선을 그을 때 그 선의 길이를 $a_1$, 두 바퀴 돌아 최단거리의 선을 그을 때 그 선의 길이를 $a_2$, $\cdots$, $n$바퀴 돌아 최단거리의 선을 그을 때 그 선의 길이를 $a_n$이라 하자. 이때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}n$의 값은? [4점]