2016학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 나형 19번

<증명>

(1) $n=1$일 때,

(좌변)$=(2\times1-1)\times2^0=1$,

(우변)$=(2\times1-3)\times2^1+3=1$이므로 $(\ast)$이 성립한다.

(2) $n=m$일 때, $(\ast)$이 성립한다고 가정하면

$\displaystyle\sum_{k=1}^m(2k-1)2^{k-1}=(2m-3)2^m+3$이다.

$n=m+1$일 때, $(\ast)$이 성립함을 보이자.

따라서 $n=m+1$일 때도 $(\ast)$이 성립한다.

(1), (2)에 의하여 모든 자연수 $n$에 대하여 $(\ast)$이 성립한다.