2014학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 B형 27번

그림과 같이 길이가 $2$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 반원 위를 움직이는 점 $\mathrm C$가 있다. 호 $\mathrm{BC}$의 길이를 이등분하는 점을 $\mathrm M$이라 하고, 두 점 $\mathrm C$, $\mathrm M$에서 선분 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm D$, $\mathrm N$이라 하자. $\angle\mathrm{CAB}=\theta$라 할 때, 사각형 $\mathrm{CDNM}$의 넓이를 $S(\theta)$라 하자.

$\lim_{\theta\to+0}\frac{S(\theta)}{\theta^3}=a$일 때, $16a$의 값을 구하시오. (단, 점 $\mathrm C$는 선분 $\mathrm{AB}$의 양 끝점이 아니다.) [4점]