행렬의 거듭제곱의 주기

영행렬이 아닌 행렬 $A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}$에 대하여 자연수 $n$에 대해 행렬 $A^n$의 모든 성분의 합을 $a_n$이라 하자. $100$ 이하의 자연수 $n$에 대하여 $a_n=k$가 되도록 하는 자연수 $n$의 개수를 $f(k)$라 할 때, $f(k)$의 최댓값을 구하시오. [4점]