2016학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 18번

한 변의 길이가 $4$인 정사각형이 있다. 그림과 같이 지름이 $2$인 두 원이 서로 한 점 $P_1$에서 만나고 정사각형의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 $Q_1$이라 하고, 선분 $P_1Q_1$을 대각선으로 하는 정사각형 $R_1$을 그린다. 이때, $R_1$의 한 변의 길이를 $l_1$이라 하자.

지름이 $\frac{l_1}{2}$인 두 원이 서로 한 점 $P_2$에서 만나고 정사각형 $R_1$의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형 $R_1$의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 $Q_2$라 하고, 선분 $P_2Q_2$를 대각선으로 하는 정사각형 $R_2$를 그린다. 이때, $R_2$의 한 변의 길이를 $l_2$라 하자.

지름이 $\frac{l_2}{2}$인 두 원이 서로 한 점 $P_3$에서 만나고 정사각형 $R_2$의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형 $R_2$의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 $Q_3$이라 하고, 선분 $P_3Q_3$을 대각선으로 하는 정사각형 $R_3$을 그린다. 이때, $R_3$의 한 변의 길이를 $l_3$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 그린 정사각형 $R_n$의 한 변의 길이를 $l_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}l_n$의 값은? [4점]