2008학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 나형 9번

<증명>

$\log2$가 유리수라고 가정하자.

$\log2=\frac nm$ ($m$, $n$은 서로소인 자연수) $\cdots$ ㉠

로 놓으면

$0<\log2<1$이므로 $\boxed{\text{(가)}}$이다.

㉠에서

$10^{\frac nm}=2$이므로

$2^{\boxed{\text{(나)}}}=5^n$

이때, $\boxed{\text{(가)}}$이므로

$2^{\boxed{\text{(나)}}}$은 $\boxed{\text{(다)}}$이고 $5^n$은 $\boxed{\phantom{\text{홀수}}}$가 되어 모순이다.

따라서 $\log2$는 무리수이다.