2009학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 14번

한 변의 길이가 $1$인 정$n$각형의 꼭짓점에 못을 박아 놓는다. 실을 한 꼭짓점에 고정시켜 길이가 $n$이 되도록 잡고 한 변의 연장선 방향으로 팽팽하게 당긴 후 실의 끝의 이동거리가 최소가 되도록 정$n$각형의 둘레로 한 바퀴 돌릴 때, 실이 움직인 영역의 넓이를 $S_n$이라 하자. 예를 들어 $S_3$은 그림과 같이 정삼각형의 한 꼭짓점에 고정시킨 길이가 $3$이 되도록 실을 잡고 정삼각형 둘레로 한 바퀴 돌릴 때 실이 움직인 영역의 넓이를 나타낸다. 이 때, $S_{20}$의 값은? (단, 실과 못의 굵기는 고려하지 않는다.) [4점]