밤띠 3기출문제

2004학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 15번

다음은 $n\ge2$ 인 자연수 $n$ 에 대하여

부등식 $2<\left(1+\frac1n\right)^n<3$ 이 성립함을 증명하는 과정이다.

<증명>

\text{(i)}\quad \left(1+\frac1n\right)^n=1+{}_n\mathrm C_1\frac1n+{}_n\mathrm C_2\left(\frac1n\right)^2+\cdots+{}_n\mathrm C_n\left(\frac1n\right)^n

\ge 1+1+{}_n\mathrm C_2\left(\frac1n\right)^2

=2+\boxed{\text{(\char"AC00 )}}>2\ (\because n\ge2)

\text{(ii)}\quad \left(1+\frac1n\right)^n=1+{}_n\mathrm C_1\frac1n+{}_n\mathrm C_2\left(\frac1n\right)^2+\cdots+{}_n\mathrm C_n\left(\frac1n\right)^n

=1+1+\frac1{2!}\left(\boxed{\phantom{000}}\right)+\frac1{3!}\left(\boxed{\text{(\char"B098 )}}\right)+\cdots+\frac1{n!}\left(\boxed{\phantom{000}}\right)

<1+1+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots+\frac1{n!}

그런데 $k!=1\cdot2\cdot3\cdots k\ge2^{k-1}$ 이므로 $\dfrac1{k!}\le\dfrac1{2^{k-1}}$

\therefore\ \left(1+\frac1n\right)^n<1+\frac1{2^0}+\frac1{2^1}+\cdots+\frac1{2^{n-1}}

=3-\boxed{\text{(\char"B2E4 )}}<3

(i), (ii)에 의하여 $n\ge2$ 인 자연수 $n$ 에 대하여

부등식 $2<\left(1+\frac1n\right)^n<3$ 이 성립한다.

위의 증명과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례로 나열하면? [3점]

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