2017학년도 9월 모의평가 수학 영역 나형 16번

그림과 같이 한 변의 길이가 $1$인 정사각형 $\mathrm{A_1B_1C_1D_1}$ 안에 꼭짓점 $\mathrm{A_1}$, $\mathrm{C_1}$을 중심으로 하고 선분 $\mathrm{A_1B_1}$, $\mathrm{C_1D_1}$을 반지름으로 하는 사분원을 각각 그린다. 선분 $\mathrm{A_1C_1}$이 두 사분원과 만나는 점 중 점 $\mathrm{A_1}$과 가까운 점을 $\mathrm{A_2}$, 점 $\mathrm{C_1}$과 가까운 점을 $\mathrm{C_2}$라 하자. 선분 $\mathrm{A_1D_1}$에 평행하고 점 $\mathrm{A_2}$를 지나는 직선이 선분 $\mathrm{A_1B_1}$과 만나는 점을 $\mathrm{E_1}$, 선분 $\mathrm{B_1C_1}$에 평행하고 점 $\mathrm{C_2}$를 지나는 직선이 선분 $\mathrm{C_1D_1}$과 만나는 점을 $\mathrm{F_1}$이라 하자. 삼각형 $\mathrm{A_1E_1A_2}$와 삼각형 $\mathrm{C_1F_1C_2}$를 그린 후 두 삼각형의 내부에 속하는 영역을 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에 선분 $\mathrm{A_2C_2}$를 대각선으로 하는 정사각형을 그리고, 새로 그려진 정사각형 안에 그림 $R_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 두 개의 사분원과 두 개의 삼각형을 그리고 두 삼각형의 내부에 속하는 영역을 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]