2023학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 30번

두 양수 $a$, $b\;(a<b)$에 대하여 함수 $f(x)$는 $f(x)=\begin{cases}|-ax^2+b|&(x\le0)\\x^2-2ax+b^2&(x>0)\end{cases}$이다. 양의 실수 $t$에 대하여 직선 $y=t$가 함수 $y=f(x)$의 그래프와 만나는 서로 다른 점의 개수를 $g(t)$라 하자. 함수 $g(t)$는 최솟값 $2$를 갖고, 두 상수 $\alpha$, $\beta$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

$f(\dfrac12)=\alpha$, $\alpha+24\beta=30$일 때, $f(-2)+f(1)=\dfrac qp$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]