길이와 기울기가 정해진 두 교점

두 상수 $a,\,b$에 대하여 두 곡선 $y=a^{x-1}+b\;\left(a>0,\,a\ne1\right)$, $y=2x^2-\dfrac{15}{2}x+9$의 교점 중 서로 다른 두 점을 $x$좌표가 작은 순서대로 $\mathrm{A},\,\mathrm{B}$라 하자. 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기가 $\dfrac12$이고 선분 $\mathrm{AB}$의 길이가 $\sqrt5$일 때, $a^2+4b^2$의 값을 구하시오.