30. 좌표평면에 AB‾=AC‾=85, BC‾=16\overline{AB}=\overline{AC}=8\sqrt5,\ \overline{BC}=16AB=AC=85, BC=16인 삼각형 ABCABCABC가 있다. 선분 ABABAB 위의 점 PPP, 선분 BCBCBC 위의 점 QQQ, 선분 CACACA 위의 점 RRR이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) (PB→+PQ→)⋅BC→=(RC→+RQ→)⋅BC→=0(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PQ})\cdot\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{RC}+\overrightarrow{RQ})\cdot\overrightarrow{BC}=0(PB+PQ)⋅BC=(RC+RQ)⋅BC=0
(나) QP→⋅QR→=∣QP→∣2\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{QR}=|\overrightarrow{QP}|^2QP⋅QR=∣QP∣2
∣3XP→+XR→∣=∣PR→∣|3\overrightarrow{XP}+\overrightarrow{XR}|=|\overrightarrow{PR}|∣3XP+XR∣=∣PR∣을 만족시키는 점 XXX에 대하여 ∣BX→∣|\overrightarrow{BX}|∣BX∣의 최댓값과 최솟값을 각각 M,mM,mM,m이라 할 때, M×mM\times mM×m의 값을 구하시오. (단, ∣PQ‾∣>0|\overline{PQ}|>0∣PQ∣>0) [4점]