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좌표평면에 AB‾=AC‾=85, BC‾=16\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}=8\sqrt5,\,\overline{\mathrm{BC}}=16AB=AC=85,BC=16인 삼각형 ABC\mathrm{ABC}ABC가 있다. 선분 AB\mathrm{AB}AB 위의 점 P\mathrm{P}P, 선분 BC\mathrm{BC}BC 위의 점 Q\mathrm{Q}Q, 선분 CA\mathrm{CA}CA 위의 점 R\mathrm{R}R이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) (PB→+PQ→)⋅BC→=(RC→+RQ→)⋅BC→=0\left(\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right)\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\overrightarrow{\mathrm{RC}}+\overrightarrow{\mathrm{RQ}}\right)\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=0(PB+PQ)⋅BC=(RC+RQ)⋅BC=0
(나) QP→⋅QR→=∣QP→∣2\overrightarrow{\mathrm{QP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{QP}}\right|^2QP⋅QR=QP2
∣3XP→+XR→∣=∣PR→∣\left|3\overrightarrow{\mathrm{XP}}+\overrightarrow{\mathrm{XR}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{PR}}\right|3XP+XR=PR을 만족시키는 점 X\mathrm{X}X에 대하여 ∣BX→∣\left|\overrightarrow{\mathrm{BX}}\right|BX의 최댓값과 최솟값을 각각 M, mM,\,mM,m이라 할 때, M×mM\times mM×m의 값을 구하시오. (단, ∣PQ→∣>0\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|>0PQ>0) [4점]
