파란띠 5기출문제

2022학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 19번

그림과 같이 중심이 $\mathrm O$ , 반지름의 길이가 $1$ 이고 중심각의 크기가 $\theta$ 인 부채꼴 $\mathrm{OAB}$ 가 있다. 호 $\mathrm{AB}$ 의 삼등분점 중 점 $\mathrm A$ 에 가까운 점을 $\mathrm C$ 라 하고, 직선 $\mathrm{OA}$ 와 직선 $\mathrm{BC}$ 가 만나는 점을 $\mathrm D$ 라 하자. 다음은 두 선분 $\mathrm{AD}$ , $\mathrm{CD}$ 와 호 $\mathrm{AC}$ 로 둘러싸인 부분의 넓이 $S(\theta)$ 를 구하는 과정이다. (단, $0<\theta<\frac34\pi$ )

점 $\mathrm C$ 가 호 $\mathrm{AB}$ 의 삼등분점 중 점 $\mathrm A$ 에 가까운 점이므로 $\angle\mathrm{BOC}=\boxed{\text{(가)}}$ 이다. 또한, 삼각형 $\mathrm{BOC}$ 에서

\angle\mathrm{OBC}=\angle\mathrm{OCB}=\frac12\left(\pi-\boxed{\text{(가)}}\right)

이다. 한편, 삼각형 $\mathrm{BOD}$ 에서 사인법칙에 의하여

\overline{\mathrm{OD}}=\frac{\cos\frac\theta3}{\boxed{\text{(나)}}}

이다. $S(\theta)$ 는 삼각형 $\mathrm{COD}$ 의 넓이에서 부채꼴 $\mathrm{OAC}$ 의 넓이를 뺀 값이므로

S(\theta)=\frac12\times\frac{\cos\frac\theta3}{\boxed{\text{(나)}}}\times\sin\frac\theta3-\boxed{\text{(다)}}

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(\theta)$ , $g(\theta)$ , $h(\theta)$ 라 할 때, $\frac{f\left(\frac\pi2\right)\times g\left(\frac\pi4\right)}{h\left(\frac\pi8\right)}$ 의 값은? [4점]