2022학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 공통 21번

$\angle BAC=\theta\;(\frac23\pi\le\theta<\frac34\pi)$인 삼각형 $ABC$의 외접원의 중심을 $O$, 세 점 $B,O,C$를 지나는 원의 중심을 $O'$이라 하자. 다음은 점 $O'$이 선분 $AB$ 위에 있을 때, $\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}$의 값을 $\theta$에 대한 식으로 나타내는 과정이다.

삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$라 하면 사인법칙에 의하여

$$\frac{\overline{BC}}{\sin\theta}=2R$$

세 점 $B,O,C$를 지나는 원의 반지름의 길이를 $r$라 하자. 선분 $O'O$는 선분 $BC$를 수직이등분하므로 이 두 선분의 교점을 $M$이라 하면

$$\overline{O'M}=r-\overline{OM}=r-|R\cos\theta|$$

직각삼각형 $O'BM$에서

$$R=(\text{가})\times r$$

이므로

$$\sin(\angle O'BM)=(\text{나})$$

따라서 삼각형 $ABC$에서 사인법칙에 의하여

$$\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}=(\text{다})$$

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(\theta),g(\theta),h(\theta)$라 하자. $\cos\alpha=-\frac35$, $\cos\beta=-\frac{\sqrt{10}}5$인 $\alpha,\beta$에 대하여

이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]