2018학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 29번

그림과 같이 평면 $\alpha$ 위에 중심이 점 $\mathrm A$이고 반지름의 길이가 $\sqrt3$인 원 $C$가 있다. 점 $\mathrm A$를 지나고 평면 $\alpha$에 수직인 직선 위의 점 $\mathrm B$에 대하여 $\overline{\mathrm{AB}}=3$이다. 원 $C$ 위의 점 $\mathrm P$에 대하여 원 $D$가 다음 조건을 만족시킨다.

평면 $\alpha$ 위에 $\overline{\mathrm{AX}}=5$인 점 $\mathrm X$가 있다. 점 $\mathrm P$가 원 $C$ 위를 움직일 때, 원 $D$ 위의 점 $\mathrm Q$에 대하여 선분 $\mathrm{XQ}$의 길이의 최댓값은 $m+\sqrt n$이다. $m+n$의 값을 구하시오. (단, $m$, $n$은 자연수이다.) [4점]