2016학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 16번

중심이 $\mathrm O$, 반지름의 길이가 6이고 중심각의 크기가 $60^\circ$인 부채꼴 $\mathrm{OA_1B_1}$이 있다.

그림과 같이 호 $\mathrm{A_1B_1}$을 이등분하는 점 $\mathrm{M_1}$에서 두 선분 $\mathrm{OA_1}$, $\mathrm{OB_1}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{P_1}$, $\mathrm{Q_1}$이라 하고, 중심이 $\mathrm{M_1}$, 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{M_1P_1}}$인 부채꼴 $\mathrm{M_1P_1Q_1}$을 그린다. 점 $\mathrm O$를 중심으로 하고 호 $\mathrm{P_1Q_1}$에 접하는 원이 두 선분 $\mathrm{OA_1}$, $\mathrm{OB_1}$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A_2}$, $\mathrm{B_2}$라 할 때, 호 $\mathrm{P_1Q_1}$, 호 $\mathrm{A_2B_2}$, 선분 $\mathrm{P_1A_2}$, 선분 $\mathrm{Q_1B_2}$로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에 호 $\mathrm{A_2B_2}$를 이등분하는 점 $\mathrm{M_2}$에서 두 선분 $\mathrm{OA_2}$, $\mathrm{OB_2}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{P_2}$, $\mathrm{Q_2}$라 하고, 중심이 $\mathrm{M_2}$, 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{M_2P_2}}$인 부채꼴 $\mathrm{M_2P_2Q_2}$를 그린다. 점 $\mathrm O$를 중심으로 하고 호 $\mathrm{P_2Q_2}$에 접하는 원이 두 선분 $\mathrm{OA_2}$, $\mathrm{OB_2}$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{A_3}$, $\mathrm{B_3}$이라 할 때, 호 $\mathrm{P_2Q_2}$, 호 $\mathrm{A_3B_3}$, 선분 $\mathrm{P_2A_3}$, 선분 $\mathrm{Q_2B_3}$로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]